Rang d`une famille de vecteurs exemple

L`ordre d`un mineur est la longueur latérale de la sous-matrice carrée dont il est le déterminant. Le rang de A est le plus petit nombre k tel que A peut être écrit comme une somme de k rang 1 matrices, où une matrice est définie pour avoir rang 1 si et seulement si elle peut être écrite comme un produit différent de zéro c ? r {displaystyle ccdot r} d`un vecteur de colonne c et un vecteur de ligne r. Placez-les comme colonnes d`une matrice m × r C. Ce résultat peut être appliqué à n`importe quelle matrice, donc appliquez le résultat à la transposition de A. Ce nombre (i. Malheureusement, cette définition ne suggère pas une manière efficace de calculer le rang (pour lequel il est préférable d`utiliser l`une des définitions alternatives). Le fait que les rangs de colonne et de rangée de n`importe quelle matrice sont égaux forme une partie importante du théorème fondamental de l`algèbre linéaire. Maintenant, chaque rangée de A est donnée par une combinaison linéaire des r rangées de R. Le rang est communément désigné rang (A) ou RK (A); parfois les parenthèses ne sont pas écrites, comme dans le rang A. Le rang de A est le plus grand ordre de n`importe quel mineur non-zéro dans A. sinon la solution générale a k paramètres libres où k est la différence entre le nombre de variables et le rang. Il est égal au rang linéaire de la dérivée.

LET A être une matrice de taille m × n (avec m lignes et n colonnes). Le rang de A est le nombre maximal de colonnes indépendantes linéairement c 1, c 2,…, c k {displaystyle c _ {1}, c _ {2}, dots, c _ {k}} de A; C`est la dimension de l`espace de colonne de A (l`espace de colonne étant le sous-espace de FM généré par les colonnes de A, qui est en fait juste l`image de la carte linéaire f associée à A). Une application utile du calcul du rang d`une matrice est le calcul du nombre de solutions d`un système d`équations linéaires. Le rang matriciel ne doit pas être confondu avec l`ordre tenseur, qui est appelé rang tenseur. Le second est un argument élégant utilisant l`orthogonalité et est valable pour les matrices sur les nombres réels; Il est basé sur MacKiw (1995). Deux preuves de ce résultat sont données dans épreuves que colonne Rank = rang rang ci-dessous. Nous supposons que A est une matrice m × n, et nous définissons la carte linéaire f par f (x) = AX comme ci-dessus. Si, d`autre part, les rangs de ces deux matrices sont égales, alors le système doit avoir au moins une solution.

Cela implique que c 1 = c 2 = ? = c r = 0 {displaystyle c: {1} = c _ {2} = cdots = c {r} = 0}. La preuve est basée sur Wardlaw (2005). Donc, un x 1, un x 2,…, un x r {displaystyle Ax_ {1}, Ax_ {2}, ldots, Ax_ {r}} est un ensemble de vecteurs indépendants de r linéairement dans l`espace de colonne d`un et, par conséquent, la dimension de l`espace de colonne d`un (i. tenseur ordre est le nombre d`indices requis pour écrire un tenseur , et donc toutes les matrices ont l`ordre tenseur 2. Selon le théorème de Rouché – Capelli, le système est incohérent si le rang de la matrice augmentée est supérieur au rang de la matrice du coefficient.